BloggerでMathjaxを使ってみる。

やっぱり数式を書くならLaTeXが一番美しく書けますね。実は太陽の重力はどれくらいなんだろうとふと考えたのがこのエントリを書くきっかけ。
BloggerでMathJaxを使ってTeXっぽく数式を入れる方法を参照させていただきました。

で、Wikipediaの重力加速度より、

球対称な天体を考え、自転の影響を考えない場合には、天体の質量を M、半径を R とすると、地表付近での重力加速度の大きさは、万有引力の法則から万有引力定数を G として

$$g=\frac{GM}{R^2}$$

と表すことができる。半径方向の単位ベクトルを\(e_r\)とすれば

$$g=-\frac{GM}{R^2}e_r$$

と表される。自転による遠心力を考慮すれば、自転の角速度を\(\omega = \omega e_z\)として

$$g=-\left(\frac{GM}{R^2}-R\omega^2\right)e_r-R\omega^2e_z \sin \phi$$

となる。ここで\(\phi\)は観測点の緯度である。重力加速度の大きさは緯度によって変化し、赤道で最も小さく、極で最も大きい。また、その方向も球の中心からずれる。

だそうです。
地球の場合には、Particle Data GroupのデータASTROPHYSICAL CONSTANTS AND PARAMETERSによれば、地球の質量は\(5.9724(3)×10^{24}\)kg(ただし(3)は３の循環小数)、半径(nominal Earth equatorial radius)は\(6.3781×10^6\)m、万有引力定数は\(6.67408(31)×10^{−11}\)m³ kg⁻¹ s⁻²ということなので、自転を考えなければ\(9.79851528...\)m/s²となります。
公式には地球の重力加速度は\(9.80665\)m/s²なので、ほんのちょっと違いますが、およその値としてはかまわないでしょう。

そして肝心の太陽です。
Wikipediaによれば、太陽は質量\(1.9891×10^30\)kg、半径\(6.96×10^8\)mですから、自転を考えなければおよそ\(274.05\)m/s²となります。つまり地球の28倍です。
そしてそんな太陽からの脱出速度は617.7 km/s。地球からの脱出速度は11.186 km/sですから、地球の55倍の速度が必要となり、太陽の重力圏に捕まったらものすごい勢いで太陽に落ちていくんだよ、ということになります。
ちなみに音速のマッハでいえば、マッハ1は340 m/sですから、地球からの脱出にはマッハ33、太陽からの脱出にはマッハ1817と、もう想像することも困難な数字になってきます。時速になおせばマッハ1=1225 km/hとなります。
参考までに成田-サンフランシスコの距離は8236 km、マッハ1なら7.3時間、マッハ33なら0.22時間=13分30秒、マッハ1817なら14.5秒…というとんでもない速度ということになります。

なんというか、天文学ではほんとに天文学的な数字を扱うんだなぁ。